Игральный кубик

Пусть у нас есть кубик, который с равной долей вероятности выпадает на числа 1,2,3,4,5,6. Такой кубик в Python выполняет функция randint из модуля random; можно записывать случайно сгенерированное значение в переменную:

import random
a = random.randint(1, 6)  

Мы конечно считаем, что каждая сторона кубика выпадает с равной долей вероятностей, то есть с вероятностями $P(\{1\})=...=P(\{6\})=\frac{1}{6}.$ Получается, условие “1 или 2” удовлетворяется в 2 случаях из 6, и вероятность условия уже $P(\{1,2\})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$ Но что значит это число? Оно значит, что если кубик кидать достаточно долго, и записывать сколько раз условие “1 или 2” выполнилось и не выполнилось, то процент выполнения условия будет стремиться к $\frac{1}{3}.$ Примерно это называется “законом больших чисел”. Посмотрим его на примере Python-овского “кубика”.

На каждом из 1000 бросков кубика посчитайте “реальную вероятность” $P_i$ $-$ $(n_1+n_2)/i,$ где $n_1$ $-$ количество выпавших “1” на кубике, $n_2$ $-$ количество “2”, а $i$ $-$ сколько раз вы уже “кинули кубик”. То есть, для цикла for, $i$ $-$ просто итеративная переменная. Такие посчитанные вероятности $P_1,...P_{1000}$ запишите в 1 массив $P,$ а затем отобразите на графике. Обратите внимание, на одном графике выводится 2-я горизонтальная линия от $x=0,y=\frac{1}{3}$ до $x=1000,y=\frac{1}{3}.$

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(P)
plt.plot([0, 1000], [1/3, 1/3])
plt.show()

Анализируйте, как “реальная вероятность” приближается к теоретической. Запустите программу несколько раз, из раза в раз график будет другим.

(дополнительно): Найдите первую итерацию $j,$ на которой “реальная вероятность” впервые приблизилась к теоретической $|P_j-\frac{1}{3}|<\epsilon$ с точностью до ошибки $\epsilon =\mathrm{0.001.}$ Отобразите точку на графике (до plt.show()!):

plt.scatter(j, P[j], c="k")

Числа $P_i$ перестали отличаться от $\frac{1}{3}$ после достижения такого условия (справа от точки)? Насколько условие $|P_j-\frac{1}{3}|<\epsilon$ является хорошим критерий остановки цикла? А если число $\epsilon$ уменьшить? Если бы мы имели дело с неизвестной теоретической вероятностью, сколько бросков кубика $N$ вы бы сделали, чтобы уверенно сказать, что $P_N$ близка к теоретической оценке с точностью $\epsilon$?