Брошенное тело (обратная задача)

P.S.: Для решения этой задачи не обязательно решать задачу “Брошенное тело”

---

Пусть есть траектория полёта материальной точки в плоскости $Oxy,$ где ось $Oy$ направлена вертикально вверх. Такая траектория запечатлена на “измерительные приборы”, и у нас есть зашумлённые массивы $x=[x_1,...x_N]$ и $y=[y_1,...y_N]$ координат в разные моменты времени. В этой задаче траектории генерируются автоматически, хотя при настоящем эксперименте они бы загружались из файла.

import random
x = [0.05*i + random.uniform(-0.3,0.3) for i in range(200)]
y = [0.1*i-0.0005*(i)**2 + random.uniform(-0.3,0.3) for i in range(200)]

Известно, что моменты времени отличаются на постоянный шаг по времени $\Delta t=0.01$ сек. Значения в массивах $x,y$ приведены в метрах. Найдите приближённые значения начального вектора скорости.

Можно попробовать:

1. Не обращать внимания на всю траекторию, и взять только начальную, среднюю и последнюю точки. Далее воспользоваться кинематикой, соображением симметрии и здравым смыслом.
2. Перебрать через двойной цикл допустимые варианты начальных скоростей $v_x,v_y.$ Тогда предположим, что точку бросили из начала координат: $x=0+v_{x}t,y=0+v_{y}t-\frac{g{t}^2}{2}.$ Для каждой пары $(v_x,v_y)$ из заданного диапазона $[0,20]$ найдите соответствующие массивы траектории $\tilde{x}=[{\tilde{x}}_1,...{\tilde{x}}_N]$ и $\tilde{y}=[{\tilde{y}}_1,...{\tilde{y}}_N],$ а затем сравните с изначальными “измеренными” массивами. Такую проверочную траекторию будем называть модельной. Сравнить можно с помощью средней квадратичной ошибки: $L=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\left((x_i-{\tilde{x}}_i{)}^2+(y_i-{\tilde{y}}_i{)}^2\right),$ где $N=200$ $-$ количество точек в траектории. Так, $L$ измеряется в метрах${}^2$, то есть $\sqrt{L}$ $-$ среднее отклонение точки “измеренной” траектории с точкой модельной траектории. Та пара скоростей $(v_x,v_y),$ для которой $L$ наименьшее, будет ответом на решение задачи.